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推荐阅读

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阿基米德螺线 r = aθ 第一圈的面积（Calculus With Analytic Geometry 16.5 Problem 3）

描述

两千多年前，阿基米德证明了一个漂亮的结论：螺线 r=aθ 转第一圈所围住的面积，恰好是外接圆面积的三分之一。今天我们用极坐标下的面积公式，几行就能验证它；更有意思的是，我们会发现这个「三分之一」并不只在转满一圈时才成立。

日期

2026/11/08
标题

玫瑰线 r = sin 3θ 与蚶线 r = 1 + 2cos θ 的面积（Calculus With Analytic Geometry 16.5 Problems 5–7）

描述

这三道题问的其实是同一件事：一条用极坐标写出来的曲线，到底围住了多大一块面积？题目本身不难，但里面藏着两个初学者最容易踩的坑——负的 r 和重复计算。这篇文章会从极坐标讲起，把每一步都拆开来说清楚。

日期

2026/10/31
标题

求抛物线 r = 8/(1 − cos θ) 与 y 轴之间的面积（Calculus With Analytic Geometry 16.5 Problem 2）

描述

求抛物线 r = 8/(1 − cos θ) 与 y 轴之间的面积。这块区域像一片向左鼓出的月牙，用极坐标面积公式可得答案 128/3。

日期

2026/10/26
标题

证明对数螺线 r = ae^(bθ) 的弧长等于 θ = 0 处切线被两轴截下的长度（Calculus With Analytic Geometry 16.4 Problem 18）

描述

画出 a 为正、b 为负时的对数螺线，并证明：从 θ = 0 到无穷远的弧长，等于起点处切线被两轴截下的那段长度。两者都等于 a√(1+b²)/|b|。

日期

2026/10/11
标题

求双纽线 r² = 2a² cos 2θ 与圆 r = a 的交角（Calculus With Analytic Geometry 16.4 Problem 8）

描述

双纽线 r² = 2a² cos 2θ 与圆 r = a 相交时，四个交点处的交角都是 60°。

日期

2026/09/28
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证明阿基米德螺线 r = aθ 的线段 OT 等于圆弧 ASP（Calculus With Analytic Geometry 16.4 Problem 7）

描述

在阿基米德螺线上任取一点 P，过原点作垂线交切线于 T。证明线段 OT 等于从极轴画到 P 的圆弧长度，两者都等于 aθ²。

日期

2026/09/28
标题

求双纽线 r² = 2a² cos 2θ 绕 y 轴旋转所得曲面的面积（Calculus With Analytic Geometry 16.4 Problem 6）

描述

求双纽线 r² = 2a² cos 2θ 绕 y 轴旋转所得曲面的面积，答案是 4√2 π a²。

日期

2026/09/28
标题

用幂级数除法求割圆曲线下方的面积（Calculus With Analytic Geometry 16.3 Problem 22）

描述

用幂级数除法求割圆曲线下方的面积。把方程改成 y = x cot x 后展开，得到牛顿当年算出的那条面积公式。

日期

2026/09/27
标题

求心脏线 r = a(1 − cos θ) 绕 x 轴旋转所得曲面的面积（Calculus With Analytic Geometry 16.4 Problem 5）

描述

求心脏线 r = a(1 − cos θ) 绕 x 轴旋转所得曲面的面积。上半段转一圈已扫出整个曲面，答案是 (32/5)π a²。

日期

2026/09/26