题目：画出 a 为正、b 为负时的对数螺线 r = ae^{b\theta}，并证明：从 \theta = 0 到 \theta = \infty 的弧长，等于 \theta = 0 处的切线被 x 轴和 y 轴截下的那一段的长度。
答案：两者都等于 \dfrac{a\sqrt{1+b^2}}{|b|}。
一、草图：螺线往里绕
b<0 时，\theta 每增大一点，r = ae^{b\theta} 就缩小一点。
\theta = 0 时 r = a，起点是 x 轴上的点 P = (a,0)。
曲线逆时针绕原点一圈又一圈，越绕越靠近原点。
它绕了无穷多圈，却永远到不了原点，因为 r 永远大于 0。
二、弧长
由 r = ae^{b\theta} 得 \dfrac{dr}{d\theta} = abe^{b\theta}，所以
从 0 积到 \infty：
因为 b<0，当 \theta\to\infty 时 e^{b\theta}\to 0，所以
绕了无穷多圈，弧长却是有限的。
三、θ = 0 处的切线
用第 577 页的 (5) 式：
在 \theta = 0 处，向径 OP 沿着 x 轴正方向，所以切线与 x 轴的夹角就是 \psi。
也可以直接用直角坐标求切线方向：
x = r\cos\theta，y = r\sin\theta；
在 \theta = 0 处，\dfrac{dx}{d\theta} = r'\cos\theta - r\sin\theta = ab，\dfrac{dy}{d\theta} = r'\sin\theta + r\cos\theta = a；
所以切线斜率是 \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{a}{ab} = \dfrac1b。
过 P(a,0)、斜率为 \dfrac1b 的切线是
四、被两轴截下的线段
与 x 轴的交点：令 y = 0，得 x = a，就是 P 本身。
与 y 轴的交点：令 x = 0，得 y = -\dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{|b|}，记为 T=\Big(0,\dfrac{a}{|b|}\Big)。这个值是正的，所以 T 在 y 轴正半轴上。
截下的线段就是 PT，长度为
它和第二步的弧长完全相同：
五、补充：为什么会这么巧
在直角三角形 OPT 中，\angle O = 90^\circ，OP = a。PT 是斜边，它与 OP 的夹角正是第三步的角 \psi。而
所以 |PT| = \dfrac{OP}{|\cos\psi|} = \dfrac{a\sqrt{1+b^2}}{|b|}。
第 15 题的结论（dr/ds 是常数）背后是同一件事：对数螺线上每一点的 \psi 都相同，所以弧长和半径按固定比例同步缩小。从 P 走到原点，弧长是 \dfrac{r}{|\cos\psi|}；从 P 沿切线走到 y 轴，距离也是 \dfrac{OP}{|\cos\psi|}。两者自然相等。
六、图怎么看
滑块 b：改变螺线绕得松紧。|b| 越小，螺线绕得越密，T 也越高，但两张卡片上的数值始终相等。
播放 / 极角 θ：点 Q 从 P 出发沿螺线往里走，紫色实线是已经走过的弧，「P 到 Q 的弧长」随之增大，越来越接近总弧长，也就是橙色线段 PT 的长度。