阿基米德螺线 r = aθ 第一圈的面积（Calculus With Analytic Geometry 16.5 Problem 3） - Koichi's free world for solitary meditation

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Calculus With Analytic Geometry · 16.5 · Problem 3

阿基米德螺线：第一圈的面积

r=a\theta　·　0\le\theta\le2\pi

第一圈\tfrac43\pi^3a^2外接圆4\pi^3a^2比值\tfrac13

两千多年前，阿基米德证明了一个漂亮的结论：螺线 r=a\theta 转第一圈所围住的面积，恰好是外接圆面积的三分之一。今天我们用极坐标下的面积公式，几行就能验证它；更有意思的是，我们会发现这个「三分之一」并不只在转满一圈时才成立。

题目

第 3 题

Show that the area inside the first turn of the spiral r=a\theta, that is, for 0\le\theta\le2\pi, equals one-third the area of the circle that passes through the endpoint of this turn and has center at the origin.

证明：螺线 r=a\theta 第一圈（即 0\le\theta\le2\pi 的部分）内部的面积，等于另一个圆面积的三分之一。这个圆以原点为圆心，并且经过第一圈的终点。

原书脚注：这个命题和 16.4 节第 7 题的结果，是阿基米德在论著《论螺线》中证明的两条主要定理（命题 20 和命题 24）。

动态示意图

极坐标图

½r² 图

用法：动画分五个阶段自动播放；可以暂停，用「上一阶段 / 下一阶段」逐段看，或拖动滑块手动改变 θ（第二阶段改变切分份数）。图中取 a = 1。

一、准备知识：阿基米德螺线

极坐标用两个数描述一个点：先转一个角度 \theta，再沿这个方向走 r 远。\theta 从 x 轴正方向开始，逆时针为正，单位是弧度：转一整圈是 2\pi。

方程 r=a\theta（a>0 是常数）的意思是：转得越多，走得越远，而且两者成正比。可以想象一根绕原点匀速旋转的木棍，一只蚂蚁同时沿着木棍匀速往外爬——蚂蚁走过的路线就是阿基米德螺线。

\theta=0 时 r=0：从原点出发；
\theta=\pi 时 r=\pi a：转了半圈，到了左边；
\theta=2\pi 时 r=2\pi a：转满一圈，终点 (2\pi a,\,0) 落在 x 轴正半轴上。

有趣

每多转一圈，r 就增加 2\pi a。所以阿基米德螺线相邻两圈之间的距离处处相等——蚊香、卷尺、黑胶唱片的纹路，都近似这种螺线。

二、核心工具：极坐标下的面积公式

从圆的扇形说起

半径为 r、圆心角为 \theta 的扇形，占整圆的 \dfrac{\theta}{2\pi}，所以面积是

\frac{\theta}{2\pi}\cdot\pi r^2=\frac12r^2\theta

曲线围成的区域

螺线的 r 随角度变化，不是常数。办法是把区域切成许多张角极小的「细扇形」：张角 d\theta 小到一定程度时，这一小段里 r 几乎不变，每个细扇形的面积约为 \tfrac12r^2\,d\theta。全部加起来，再让切得无限细，就得到本节公式 (2)：

A=\int_\alpha^\beta\frac12r^2\,d\theta

它表示射线从 \theta=\alpha 转到 \theta=\beta 时扫过的面积。动态示意图第二阶段就是在演示这件事：极坐标图里的每个细扇形，对应 \tfrac12r^2 图里同色的一根细长条，两者面积相等。

哲思

弯曲的形状无法直接计算，就把它切成无数块几乎规则的小块，算完再拼回去——「以直代曲、化整为零」，是整个微积分最核心的想法。

三、先看清：「第一圈内部」是哪块区域

「第一圈内部」是 \theta 从 0 转到 2\pi 时，射线从原点出发扫过的区域。它的边界有两段：

螺线本身，从原点盘绕到终点 (2\pi a,\,0)；
x 轴上从原点到 (2\pi a,\,0) 的那段线段。

题目里的圆，以原点为圆心、经过终点 (2\pi a,\,0)，所以半径 R=2\pi a。螺线第一圈完全装在这个圆里面，只在终点处与圆相碰。

注意

第一圈内部不是圆，也不是「r\le2\pi a 的所有点」。它一侧紧贴原点，另一侧才鼓到圆周，形状并不对称。画图之后再列积分，能避免很多错误。

四、计算两块面积

第 1 步：螺线第一圈的面积

把 r=a\theta 代入公式，积分区间取第一圈对应的 [0,2\pi]：

A_1=\int_0^{2\pi}\frac12(a\theta)^2\,d\theta=\frac{a^2}{2}\int_0^{2\pi}\theta^2\,d\theta

\theta^2 的原函数是 \dfrac{\theta^3}{3}（可以求导验证），所以

A_1=\frac{a^2}{2}\left[\frac{\theta^3}{3}\right]_0^{2\pi}=\frac{a^2}{2}\cdot\frac{8\pi^3}{3}=\frac43\pi^3a^2

第 2 步：外接圆的面积

A_2=\pi R^2=\pi(2\pi a)^2=4\pi^3a^2

第 3 步：相比

\frac{A_1}{A_2}=\frac{\frac43\pi^3a^2}{4\pi^3a^2}

\frac{A_1}{A_2}=\boxed{\dfrac13}

证毕。

估算一下

取 a=1：第一圈面积约 41.3，外接圆约 124.0。螺线前半圈离原点很近，只扫出细细的一条，大部分面积集中在后半圈——只占三分之一，完全合理。

五、为什么恰好是三分之一

其实不必等转满一圈。转到任意角度 \theta 时，螺线扫过的面积是

A(\theta)=\int_0^{\theta}\frac12a^2t^2\,dt=\frac16a^2\theta^3

再看一个扇形：半径取当前极径 r=a\theta，圆心角也是 \theta，面积为

\frac12r^2\theta=\frac12a^2\theta^3

两者之比是 \dfrac{1/6}{1/2}=\dfrac13，与 \theta 无关。也就是说，螺线在任何时刻扫过的面积，都是同半径、同转角扇形的三分之一。转满一圈时，这个扇形正好变成整个圆，于是得到题目的结论。

三分之一的根源是 \displaystyle\int_0^x t^2\,dt=\frac13x^3：抛物线 y=t^2 下方的面积，恰好是外接矩形的三分之一。动态示意图第四阶段的 \tfrac12r^2 图画的正是这一点——抛物线下方的青色面积，占虚线矩形的三分之一。

有趣

阿基米德在公元前 3 世纪就证明了这个结论，比牛顿、莱布尼茨发明微积分早约 1900 年。他没有积分可用，用的是「穷竭法」：用内切和外接的细扇形把面积夹住，再用反证法排除「偏大」和「偏小」两种可能。思路和本节注 2 的夹逼论证几乎一模一样。

哲思

只在终点成立的结论，可能是巧合；在过程中每一刻都成立的结论，背后一定有更深的原因。看到一个漂亮的结果，不妨多问一句：它是不是一直都对？

六、小结

阿基米德螺线 r=a\theta：极径与转角成正比，相邻两圈间距处处相等；
极坐标面积公式 A=\displaystyle\int_\alpha^\beta\tfrac12r^2\,d\theta，本质是把区域切成细扇形再加起来；
先弄清区域由哪段角度扫出，再确定积分区间；
螺线扫过的面积始终是同半径、同转角扇形的 \tfrac13，根源是 \int_0^x t^2\,dt=\tfrac13x^3。

结论：第一圈面积 \tfrac43\pi^3a^2，外接圆面积 4\pi^3a^2，前者恰为后者的 \tfrac13。