这三道题问的其实是同一件事：一条用极坐标写出来的曲线，到底围住了多大一块面积？题目本身不难，但里面藏着两个初学者最容易踩的坑——负的 r 和重复计算。这篇文章会从极坐标讲起，把每一步都拆开来说清楚。
题目
Find the total area inside the rose r=\sin 3\theta.
求玫瑰线 r=\sin 3\theta 所围的总面积。
Find the area inside the smaller loop of the limaçon r=1+2\cos\theta.
求蚶线 r=1+2\cos\theta 小圈内的面积。
Find the area between the two loops of the limaçon r=1+2\cos\theta.
求蚶线 r=1+2\cos\theta 大圈与小圈之间的面积。
动态示意图
一、准备知识：极坐标是什么
平时我们用 (x,y) 描述一个点：向右走多少，向上走多少。极坐标换了一种说法：先转一个角度 \theta，再沿这个方向走 r 远。\theta 从 x 轴正方向开始，逆时针为正。这很像生活中指路：「朝东北方向走 300 米」。
两种坐标之间可以互相换算：
像 r=\sin 3\theta 这样的极坐标方程，意思是：每给一个角度 \theta，就算出一个距离 r，描出一个点；让 \theta 连续变化，这些点就连成一条曲线。不妨想象原点处有一束绕着转的探照灯光，光束上有一个亮点，它离原点的远近随角度不断变化——亮点走过的路线就是曲线。
角度在这里一律用弧度：转一整圈是 2\pi，半圈是 \pi，直角是 \dfrac{\pi}{2}，\dfrac{\pi}{3} 就是 60^\circ。
有些曲线在极坐标里简单得惊人，换回直角坐标却很复杂。比如第 5 题的玫瑰线 r=\sin 3\theta，写成 x,y 的关系是
同一条曲线，用对了坐标，方程就从一团乱麻变成一句话。
坐标系只是描述世界的「语言」，曲线本身并不因此改变。选对语言，复杂的东西会变得简单——解题如此，看待很多问题也是如此。
二、核心工具：扇形面积公式
半径为 r 的整个圆，面积是 \pi r^2，对应的角度是一整圈 2\pi。圆心角为 \theta 的扇形只占整圆的 \dfrac{\theta}{2\pi}，所以
极坐标曲线的麻烦在于：r 不是常数，转到不同角度，距离也不同。办法是把区域切成许多张角极小（记作 d\theta）的「细扇形」。角度小到一定程度时，这一小段里的 r 几乎不变，于是每个细扇形的面积约等于 \dfrac12 r^2\,d\theta。把它们全部加起来，再让切得无限细，就得到本节公式 (2)：
它的意思是：射线从 \theta=\alpha 转到 \theta=\beta，所扫过的面积。在动态示意图里，下面那张图中曲线 \tfrac12 r^2 下方的阴影面积，正好等于上面极坐标图里射线扫过的面积。
弯弯曲曲的形状无法直接计算，就把它切成无数块几乎规则的小块，算完再拼回去——「以直代曲、化整为零」，这是整个微积分最核心的想法。
三、容易忽略的约定：r 可以是负数
在极坐标里，r 允许取负值。规则是：先面朝 \theta 方向，再往身后（反方向）走 |r|。
例如 (r,\theta)=\left(-1,\dfrac{\pi}{4}\right)：先面朝东北方向，再往反方向退 1 步，于是到了西南方向的第三象限。用换算公式验证：
它和 \left(1,\dfrac{5\pi}{4}\right) 其实是同一个点。
这个约定在本文三道题里至关重要：玫瑰线朝下的那片花瓣、蚶线里面的小圈，都是由 r<0 的那一段画出来的。动态示意图里，r<0 时点会用橙色虚线画在射线的反方向上。
面积公式里出现的是 r^2，它永远不会是负数，所以负的 r 不会让面积变成负的。但负的 r 会让同一块区域被射线重复扫过——这是后面两道题要特别留心的地方。
同一个点可以有无数个极坐标「名字」：\left(1,\frac{\pi}{4}\right)、\left(1,\frac{9\pi}{4}\right)、\left(-1,\frac{5\pi}{4}\right)……名字不同，所指相同。分清「表示」和「被表示的东西」，是数学送给我们的一点清醒。
四、第 5 题：玫瑰线 r = sin 3θ
\sin 3\theta=0 时，3\theta=0,\pi,2\pi,3\pi,\dots，也就是 \theta=0,\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3},\pi,\dots 曲线每隔 \dfrac{\pi}{3} 回到原点一次，在相邻两次之间画出一片花瓣。
| \theta 的范围 | r 的正负 | 画出的花瓣 |
|---|---|---|
| 0\to\frac{\pi}{3} | r\ge0 | ① 朝 30^\circ 方向（第一象限） |
| \frac{\pi}{3}\to\frac{2\pi}{3} | r\le0 | ② 朝正下方 |
| \frac{2\pi}{3}\to\pi | r\ge0 | ③ 朝 150^\circ 方向（第二象限） |
第 ② 片最值得细看：这时射线指向上方（在 60^\circ 到 120^\circ 之间，例如 \theta=\dfrac{\pi}{2} 时指向正上方），可 r=\sin\dfrac{3\pi}{2}=-1 是负的，点要画在反方向，落在 (0,-1)——所以这片花瓣长在正下方。
\theta 走到 \pi 时，三片花瓣已经各画一遍。再往后转只会重画：比如 \pi\le\theta\le\dfrac{4\pi}{3} 时 r\le0，点落在反方向，恰好又把第 ① 片描了一遍。
\sin^2 不方便直接积分，先用降次公式把平方去掉。它来自二倍角公式 \cos 2x=1-2\sin^2 x，移项即得
取 x=3\theta：\sin^2 3\theta=\dfrac{1-\cos 6\theta}{2}。
（\sin 6\pi=\sin 0=0，所以第二项消失。）
换个角度验算：三片花瓣一模一样，只算第 ① 片：\dfrac12\displaystyle\int_0^{\pi/3}\sin^2 3\theta\,d\theta=\dfrac{\pi}{12}，乘以 3 也是 \dfrac{\pi}{4}。
如果习惯性地从 0 积到 2\pi，会得到 \dfrac{\pi}{2}，恰好多算一倍——每片花瓣都被扫了两次。积分上下限要选「曲线恰好画完一遍」的那段角度，而不是机械地取一整圈。
一般地，r=\sin n\theta：n 为奇数时有 n 片花瓣，n 为偶数时有 2n 片。更妙的是面积——
- n 为奇数时，总面积永远是 \dfrac{\pi}{4}；
- n 为偶数时，总面积永远是 \dfrac{\pi}{2}。
不论 3 片、5 片还是 101 片，结果都一样！原因是 \sin^2 在整周期上的平均值总是 \dfrac12。所有这些玫瑰都装在半径为 1 的圆（面积 \pi）里：奇数瓣的占 \dfrac14，偶数瓣的占 \dfrac12。
花瓣越分越多，每一片越来越瘦，总面积却纹丝不动。变化的表象之下藏着不变的量——这样的「守恒」在数学和物理里随处可见。
五、第 6 题：蚶线的小圈
r=1+2\cos\theta 叫做蚶线（limaçon，法语里是「蜗牛」的意思）。形如 r=b+a\cos\theta 的曲线，当 a>b>0 时，外面一个大圈，里面还套着一个小圈。
令 r=0：1+2\cos\theta=0，即 \cos\theta=-\dfrac12，得 \theta=\dfrac{2\pi}{3} 或 \dfrac{4\pi}{3}（120^\circ 和 240^\circ）。
- \dfrac{2\pi}{3}<\theta<\dfrac{4\pi}{3} 时 \cos\theta<-\dfrac12，所以 r<0；
- 其余角度 r>0。
r>0 的部分画出大圈。r<0 的部分呢？这时射线指向左边（第二、三象限），点却要画在反方向——于是出现在原点右侧，画出了小圈。例如 \theta=\pi 时 r=-1，点落在 (1,0)，正是小圈最右端。
所以：小圈恰好由 \dfrac{2\pi}{3}\le\theta\le\dfrac{4\pi}{3} 这一段画出。
先把平方展开：(1+2\cos\theta)^2=1+4\cos\theta+4\cos^2\theta。再用另一个降次公式 \cos^2\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}，得 4\cos^2\theta=2+2\cos 2\theta。合并：
逐项求原函数（\cos 2\theta 的原函数是 \dfrac12\sin 2\theta）：
（可以求导检查：F'(\theta)=3+4\cos\theta+2\cos 2\theta，没错。）
| \theta | \sin\theta | \sin 2\theta | F(\theta) |
|---|---|---|---|
| \frac{4\pi}{3} | -\frac{\sqrt3}{2} | \frac{\sqrt3}{2} | 4\pi-\frac{3\sqrt3}{2} |
| \frac{2\pi}{3} | \frac{\sqrt3}{2} | -\frac{\sqrt3}{2} | 2\pi+\frac{3\sqrt3}{2} |
积分上下限要看「画小圈时 \theta 走了哪一段」，而不是「小圈在哪个位置」。小圈明明在原点右侧，对应的角度却是指向左侧的 120^\circ 到 240^\circ——这正是负 r 的效果。
小圈从 (0,0) 延伸到 (1,0)，宽约 1。直径为 1 的圆面积是 \dfrac{\pi}{4}\approx0.785，小圈比圆瘦一些，算出 0.544 是合理的。养成估算的习惯，能帮你及时发现算错的地方。
六、第 7 题：大圈与小圈之间
大圈围住的区域把小圈整个包在里面，所以两圈之间的面积，就是大圈面积减去小圈面积。小圈已经在第 6 题算出，只差大圈。
大圈由 r\ge0 的部分画出，即 -\dfrac{2\pi}{3}\le\theta\le\dfrac{2\pi}{3}（等价于 0\to\dfrac{2\pi}{3} 和 \dfrac{4\pi}{3}\to2\pi 两段合起来）。
因为 \cos(-\theta)=\cos\theta，蚶线关于 x 轴上下对称。只算上半部分再乘 2：
有人会直接从 0 积到 2\pi：
这个数既不是大圈，也不是两圈之间。原因是：\theta 转一整圈时，r>0 的部分扫过了整个大圈（小圈所在的地方也被扫到了），r<0 的部分又单独把小圈扫了一遍。所以
小圈被数了两次。在动态示意图的「第 7 题」里，可以看到两种颜色的面积读数分别累加。
上面这个等式反过来也很有用：既然整圈积分 = 大 + 小，第 6 题算出小圈后，大圈只需 3\pi-\left(\pi-\frac{3\sqrt3}{2}\right) 就能得到，完全不必再积一次。
「之间」往往意味着「相减」。先看清整体由哪些部分组成、哪些部分被重复计入，再决定加还是减——理清整体与部分的关系，比埋头计算更重要。
七、小结
- 极坐标面积公式 A=\displaystyle\int_\alpha^\beta\tfrac12 r^2\,d\theta，本质是把区域切成细扇形再加起来；
- 先求出 r=0 的角度，把 \theta 分成几段，逐段判断 r 的正负；
- r<0 时点画在反方向，图形会出现在「意想不到」的位置；
- 弄清曲线画完一遍需要的 \theta 范围，警惕重复计算；
- 能用对称就用对称，算完再估算或换一种方法验算。
三道题的答案：第 5 题 \dfrac{\pi}{4}，第 6 题 \pi-\dfrac{3\sqrt3}{2}，第 7 题 \pi+3\sqrt3。