求双纽线 r² = 2a² cos 2θ 绕 y 轴旋转所得曲面的面积（Calculus With Analytic Geometry 16.4 Problem 6） - Koichi's free world for solitary meditation

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旋转角

按住图形拖动可以旋转视角。

完整曲面面积 4√2πa²

17.7715

题目：双纽线 r^2=2a^2\cos 2\theta 绕 y 轴旋转，求所得旋转曲面的面积。

答案：S=4\sqrt2\,\pi a^2。

一、先看清要算哪一部分

二、公式

绕 y 轴旋转时，旋转半径是 x，所以

S=\int 2\pi x\,ds,\qquad x=r\cos\theta,\qquad ds=\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta.

三、化简弧长元素

对 r^2=2a^2\cos2\theta 两边关于 \theta 求导：

2r\,\frac{dr}{d\theta}=-4a^2\sin2\theta\quad\Longrightarrow\quad\frac{dr}{d\theta}=-\frac{2a^2\sin2\theta}{r}.

于是

r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2=\frac{r^4+4a^4\sin^2 2\theta}{r^2}=\frac{4a^4\cos^2 2\theta+4a^4\sin^2 2\theta}{r^2}=\frac{4a^4}{r^2},

所以

ds=\frac{2a^2}{r}\,d\theta.

四、关键的约分

2\pi x\,ds=2\pi\,(r\cos\theta)\cdot\frac{2a^2}{r}\,d\theta=4\pi a^2\cos\theta\,d\theta.

r 被约掉了，被积函数只剩下 \cos\theta，非常简单。

五、积分

S=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}4\pi a^2\cos\theta\,d\theta=4\pi a^2\Big[\sin\theta\Big]_{-\pi/4}^{\pi/4}=4\pi a^2\cdot\sqrt2.

\boxed{\,S=4\sqrt2\,\pi a^2\,}

六、两点补充

最常见的错误：把左、右两个环各算一次再相加，得到 8\sqrt2\,\pi a^2。实际上两环扫出的是同一个曲面，不能重复计算。
与第 5 题对比：第 5 题的心形线绕 x 轴旋转，半径用 y=r\sin\theta；本题绕 y 轴，半径换成 x=r\cos\theta。书后答案只给奇数题，本题没有官方答案，以上是完整推导。

七、图怎么看

① 绕 y 轴旋转生成曲面：点播放按钮，粉色的右环绕 y 轴转一整圈，紫色曲面随之生成；下方实时显示已扫出的面积。
② 面积微元的累积：拖动积分上限 \theta，橙色圆环是半径为 x=r\cos\theta 的那一圈，绿色部分是从 \theta=-\dfrac{\pi}{4} 累积到 \theta 的面积 4\pi a^2\left(\sin\theta+\dfrac{\sqrt2}{2}\right)。
两种模式下都可以按住图形拖动，从不同角度观察曲面。