题目：在阿基米德螺线 r=a\theta\ (\theta\ge0) 上任取一点 P，作出 P 处的切线。过原点 O 作直线 OT 垂直于 OP，与这条切线交于点 T（见图 16.32）。证明：线段 OT 的长度，等于以 O 为圆心、从极轴画到点 P 的圆弧 ASP 的长度。
结论：OT=\overset{\frown}{ASP}=a\theta^2。
一、所用工具：夹角 ψ
本节的基本公式：设 \psi 是从径向 OP 的延长方向到切线的夹角，则
对 r=a\theta 有 \dfrac{dr}{d\theta}=a，所以
二、在直角三角形中求 OT
因为 OT\perp OP，三角形 OPT 在 O 处是直角。
顶点 P 处的内角是切线与直线 OP 的夹角，它等于 \psi 或 \pi-\psi，正切的绝对值都是 \tan\psi=\theta。
已知 OP=r=a\theta。
在直角三角形中：
三、求圆弧 ASP 的长
圆弧以 O 为圆心，半径 OP=r=a\theta。
它从极轴上的 A 转到 P，圆心角正好是 \theta。
由弧长公式 s=r\theta 得
四、结论
五、补充
极次切线：在极坐标里，OT 这种线段叫做「极次切线」，一般公式是 OT=\dfrac{r^2}{|dr/d\theta|}。对阿基米德螺线，\dfrac{r^2}{a}=\dfrac{a^2\theta^2}{a}=a\theta^2，结果相同。
历史背景：这个性质相当于用一段直线的长度来表示一段圆弧的长度。据说阿基米德正是借助它，把「化圆为方」转化为作出螺线的切线。
\theta>2\pi 时同样成立：螺线已经绕过一圈以上，这时圆弧 ASP 要理解为从极轴出发、绕原点转过总角度 \theta 的弧，长度仍是 r\theta。
六、图怎么看
拖动滑块改变极角 \theta，或点播放按钮让点 P 沿螺线移动。
紫色实线是螺线，黑线是 P 处的切线，橙色小扇形标出夹角 \psi；绿色粗线是 OT，橙色虚线是圆弧 ASP。
下方卡片实时显示 OT 与圆弧 ASP 的长度，两者始终相等，并且 \tan\psi=\theta。