求双纽线 r² = 2a² cos 2θ 与圆 r = a 的交角（Calculus With Analytic Geometry 16.4 Problem 8） - Koichi's free world for solitary meditation

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选择交点

题目：双纽线 r^2=2a^2\cos 2\theta 与圆 r=a 相交时，交角是多少？

答案：两条曲线在四个交点处的交角都是 60^\circ（即 \dfrac{\pi}{3}）。

一、求交点

把 r=a 代入双纽线方程：

a^2=2a^2\cos2\theta\ \Longrightarrow\ \cos2\theta=\frac12\ \Longrightarrow\ 2\theta=\pm\frac{\pi}{3}\ \Longrightarrow\ \theta=\pm\frac{\pi}{6}.

加上左环上对应的两点（\theta=\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi），一共有 4 个交点，它们关于两条坐标轴对称。下面以 \theta=\dfrac{\pi}{6} 为例计算。

二、双纽线的夹角 ψ₁

对 r^2=2a^2\cos2\theta 求导：

2r\,\frac{dr}{d\theta}=-4a^2\sin2\theta\ \Longrightarrow\ \frac{dr}{d\theta}=-\frac{2a^2\sin2\theta}{r}.

所以

\tan\psi_1=\frac{r}{dr/d\theta}=-\frac{r^2}{2a^2\sin2\theta}=-\frac{\cos2\theta}{\sin2\theta}=-\cot2\theta.

在 \theta=\dfrac{\pi}{6} 处，\tan\psi_1=-\cot\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{1}{\sqrt3}，所以 \psi_1=150^\circ。

三、圆的夹角 ψ₂

圆 r=a 的 \dfrac{dr}{d\theta}=0，所以 \tan\psi_2=\infty，即 \psi_2=90^\circ。也就是说，圆的切线处处垂直于半径。

四、交角

用第 2 题的公式：

\tan\gamma=\frac{\tan\psi_2-\tan\psi_1}{1+\tan\psi_1\tan\psi_2}.

当 \tan\psi_2\to\infty 时，分子、分母同除以 \tan\psi_2，得

\tan\gamma=-\frac{1}{\tan\psi_1}=\sqrt3\ \Longrightarrow\ \gamma=60^\circ.

也可以直接相减：\psi_1-\psi_2=150^\circ-90^\circ=60^\circ。另外三个交点可以用同样的方法计算，或由对称性直接得出，交角都是 60^\circ。

\boxed{\,\gamma=60^\circ=\frac{\pi}{3}\,}

五、补充：一个漂亮的规律

由 \tan\psi_1=-\cot2\theta=\tan\!\left(\dfrac{\pi}{2}+2\theta\right) 可知，双纽线上处处有

\psi_1=\frac{\pi}{2}+2\theta.

它的切线相对「垂直于半径的方向」总是偏转了 2\theta，而圆的切线恰好就是垂直于半径的方向。所以两者在交点处的夹角就是 2\theta=\dfrac{\pi}{3}，不用算正切也能立刻看出答案。

六、图怎么看

① 四个交点处的交角：点选任意一个交点，绿色是圆的切线，紫色是双纽线的切线，橙色圆弧标出它们的夹角，四个交点处都是 60^\circ。
② 规律 \psi=\dfrac{\pi}{2}+2\theta：拖动极角或点播放按钮，点 P 沿双纽线右环移动。黄色扇形是 \psi，绿色虚线是垂直于半径的方向，橙色扇形是偏转角 2\theta；当 P 走到圆上（\theta=\pm30^\circ）时，偏转角正好是 60^\circ。