求心脏线 r = a(1 − cos θ) 绕 x 轴旋转所得曲面的面积（Calculus With Analytic Geometry 16.4 Problem 5） - Koichi's free world for solitary meditation

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旋转角 φ

轮廓范围 θ 从 0 到

圆环半径 y（取 a = 1）

ds/dθ = 2a sin(θ/2)

累计面积（转满一圈）

占全部 32πa²/5 的比例

这个旋转曲面的面积是 \dfrac{32}{5}\pi a^2。

题目：求心脏线 r = a(1-\cos\theta) 绕 x 轴旋转所得曲面的面积。

一、思路：把曲面切成一圈圈细环

旋转曲面面积的基本公式（第 7 章讲过）是

S = \int 2\pi y\,ds.

意思是：曲线上一小段弧 ds 绕 x 轴转一圈，扫出一条细圆环。环的半径是这一小段到 x 轴的距离 y，周长 2\pi y，宽度 ds，所以面积约为 2\pi y\,ds，全部加起来就是曲面面积。图中橙色的圈就是这样一条细环，绿色竖线是它的半径 y。

二、只需要转上半部分

心脏线关于 x 轴对称。上半部分（0 \le \theta \le \pi）转一圈，已经扫出整个曲面；下半部分转出来的是同一个曲面。所以积分范围取 0 到 \pi，不能取到 2\pi，否则面积会算成两倍。

三、求 ds 和 y

ds 在第 575 页例 1 已经算过：

ds = 2a\sin\frac\theta2\,d\theta\qquad\left(0 \le \theta \le \pi\text{，此时 }\sin\tfrac\theta2 \ge 0\right).

y 用 y = r\sin\theta，再用半角公式把所有东西都写成 \dfrac\theta2 的函数：

y = a(1-\cos\theta)\sin\theta = a\cdot2\sin^2\frac\theta2\cdot2\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2 = 4a\sin^3\frac\theta2\cos\frac\theta2.

四、列出积分

S = \int_0^\pi 2\pi\cdot4a\sin^3\frac\theta2\cos\frac\theta2\cdot2a\sin\frac\theta2\,d\theta = 16\pi a^2\int_0^\pi \sin^4\frac\theta2\cos\frac\theta2\,d\theta.

五、换元计算

令 u = \sin\dfrac\theta2，则 du = \dfrac12\cos\dfrac\theta2\,d\theta，即 \cos\dfrac\theta2\,d\theta = 2\,du。

上下限：\theta = 0 时 u = 0；\theta = \pi 时 u = \sin\dfrac\pi2 = 1。

S = 16\pi a^2\int_0^1 u^4\cdot2\,du = 32\pi a^2\cdot\frac{u^5}{5}\Bigg|_0^1 = \frac{32}{5}\pi a^2.

\boxed{S = \frac{32}{5}\pi a^2 \approx 20.11\,a^2}

我也用数值积分核对过，结果与 \dfrac{32\pi}{5} \approx 20.106 一致。

六、图怎么看

拖动“旋转角 \varphi”或按“播放旋转”，可以看到红色的上半心脏线绕 x 轴转动，蓝色曲面逐渐生成；
拖动“轮廓范围 \theta”，只让 0 到 \theta 那一段去旋转，橙色圈是当前最外侧的那条细环。

读数里的累计面积用的是上面积分的“部分和”：

S(\theta) = 16\pi a^2\int_0^{\theta}\sin^4\frac t2\cos\frac t2\,dt = \frac{32}{5}\pi a^2\sin^5\frac\theta2.

把 \theta 从小往大拖会发现：\theta 到 90^\circ 时，面积只占总面积的约 17.7\%（\sin^5 45^\circ \approx 0.177）。大部分面积来自心脏线左侧那个又宽又远的大弧，因为那里的 y 和 ds 都更大。

七、一个大小上的对照

半径为 a 的球面积是 4\pi a^2 \approx 12.57a^2。这个曲面左右跨度约 2.25a、最大半径约 1.3a，比那个球要“胖”一些，面积约为球的 1.6 倍（\frac{32/5}{4} = 1.6），在大小上是合理的。