用幂级数除法求割圆曲线下方的面积（Calculus With Analytic Geometry 16.3 Problem 22） - Koichi's free world for solitary meditation

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题目：在第 21 题中令 a=\dfrac{\pi}{2}，割圆曲线的直角坐标方程就是 x=y\cot y。把 x、y 互换，方程变为 y=x\cot x。用幂级数相除，推出牛顿的结果：曲线 y=x\cot x 下方、从 0 到 x\ \left(\le \dfrac{\pi}{2}\right) 的面积为

x-\frac{1}{9}x^3-\frac{1}{225}x^5-\frac{2}{6615}x^7-\cdots

一、先弄清方程 x = y\cot y 从哪里来

第 21 题(a) 的提示是 \dfrac{y}{a}=\dfrac{\theta}{\pi/2}。

半径 OD 从 OA 转到 OC 用的时间，和线段 EF 从 AB 降到 OC 用的时间相同。
所以当 \theta 从 \dfrac{\pi}{2} 匀速减到 0 时，交点 P 的高度 y 也从 a 匀速降到 0，两者成正比。

取 a=\dfrac{\pi}{2}，比例式变为 \dfrac{y}{\pi/2}=\dfrac{\theta}{\pi/2}，即 \theta=y。

P 在半径 OD 上，所以 \tan\theta=\dfrac{y}{x}。代入 \theta=y 得

x=\frac{y}{\tan y}=y\cot y.

把 x、y 互换，就是题目要研究的曲线

y=x\cot x=\frac{x\cos x}{\sin x}.

几何意义：互换 x、y 等于把图形沿直线 y=x 翻折，面积不变。所以要求的面积就是割圆曲线与两条坐标轴围成的那块区域的面积。

二、把 x\cot x 写成两个幂级数相除

分子、分母同除以 x：

x\cot x=\frac{\cos x}{\dfrac{\sin x}{x}}.

分子是

\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+\cdots

分母是

\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-\frac{x^6}{5040}+\cdots

两个级数都只含偶次幂，所以商也只含偶次幂。设

x\cot x=1+c_2x^2+c_4x^4+c_6x^6+\cdots

由「商 × 除式 = 被除式」得

\left(1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-\frac{x^6}{5040}+\cdots\right)\left(1+c_2x^2+c_4x^4+c_6x^6+\cdots\right)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+\cdots

两边常数项都是 1，自动相等。下面逐次比较系数。

三、逐项比较系数

x^2 项

c_2-\frac16=-\frac12\quad\Longrightarrow\quad c_2=-\frac13

x^4 项

c_4-\frac{c_2}{6}+\frac{1}{120}=\frac{1}{24}

c_4=\frac{1}{24}-\frac{1}{120}+\frac{c_2}{6}=\frac{1}{30}-\frac{1}{18}=\frac{3-5}{90}=-\frac{1}{45}

x^6 项

c_6-\frac{c_4}{6}+\frac{c_2}{120}-\frac{1}{5040}=-\frac{1}{720}

c_6=-\frac{1}{720}+\frac{1}{5040}+\frac{c_4}{6}-\frac{c_2}{120}=-\frac{1}{720}+\frac{1}{5040}-\frac{1}{270}+\frac{1}{360}

通分，公分母取 15120：

c_6=\frac{-21+3-56+42}{15120}=\frac{-32}{15120}=-\frac{2}{945}

于是

x\cot x=1-\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{45}x^4-\frac{2}{945}x^6-\cdots

四、逐项积分，得到牛顿的结果

对 0\le t\le x 积分。幂级数在收敛区间内可以逐项积分：

\int_0^x t\cot t\,dt=\int_0^x\left(1-\frac{t^2}{3}-\frac{t^4}{45}-\frac{2t^6}{945}-\cdots\right)dt

=x-\frac{x^3}{3\cdot3}-\frac{x^5}{45\cdot5}-\frac{2x^7}{945\cdot7}-\cdots

=\boxed{\,x-\frac{1}{9}x^3-\frac{1}{225}x^5-\frac{2}{6615}x^7-\cdots\,}

这正是题目给出的牛顿的结果。

五、补充：为什么 x\le\dfrac{\pi}{2} 时可以放心使用

在 x=0 处没有问题：x\cot x 在 x=0 处的极限是 1，所以曲线在 0 处有定义，面积从 0 算起。
收敛半径是 \pi：\cot x 的奇点在 x=\pm\pi，所以 x\cot x 的幂级数收敛半径是 \pi。区间 \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right] 在收敛区间内，逐项积分成立。
数值验证：整块区域的精确面积是 \displaystyle\int_0^{\pi/2}x\cot x\,dx=\frac{\pi}{2}\ln2\approx1.08879。

推导：分部积分得 \big[x\ln\sin x\big]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\ln\sin x\,dx。第一项为 0，再用 \int_0^{\pi/2}\ln\sin x\,dx=-\dfrac{\pi}{2}\ln2。取 x=\dfrac{\pi}{2}，级数前 4 项之和 \approx1.09052，与精确值只差约 0.0017。

六、图怎么看

① 割圆曲线的生成：半径 OD 顺时针匀速转动，线段 EF 同时匀速下降，两者的交点 P 描出割圆曲线。点播放按钮可以看半径从 OA 一路转到 OC，也可以拖动转角 \theta 手动控制；下方实时显示 P=(\theta\cot\theta,\ \theta)，并标出极限点 G(1,0)。
② 沿 y=x 翻折：用动画演示「互换 x、y」，曲线和阴影区域一起沿 y=x 翻过去，从 x=y\cot y 变成 y=x\cot x，阴影面积不变。
③ 面积与幂级数：拖动上限 x，选取级数前 1～4 项；选中的近似曲线以虚线标出，其余几条淡淡地留在背景里作对比，下方表格同时列出各部分和及其误差。