In a certain barbarous land, two neighboring tribes have hated one another from time immemorial. Being bar­ barous peoples, their powers of belief are strong, and a solemn curse pronounced by the medicine man of the first tribe deranges the members of the second tribe and drives them to murder and suicide. If the rate of change of the population P of the second tribe is $-\sqrt{P}$ people per week, and if the population is 676 when the curse is uttered, when will they all be dead?

在某个蛮荒之地，两个相邻的部落自古以来就互相仇视。作为蛮荒民族，他们的信仰力量很强，第一个部落的巫师宣布的一个庄严的诅咒使第二个部落的成员精神错乱，并驱使他们去杀人和自杀。如果第二个部落人口P的变化率是每周$-\sqrt{P}$人，如果诅咒发出时的人口是 676 人，那么他们什么时候会全部死亡？

这个问题很好得说明了积分存在的意义，当我们知道一种“变化”的变化率时，通过积分可以使得我们得到这个“变化”的原始方程。

我们将这个问题中的两个变量设置如下：

人口：P

时间（以周为单位）：T

则可以得到以下微分方程：$$\dfrac{dP}{dT}=-\sqrt{P}$$

然后进行变量分离，得到：$$P^{-\dfrac{1}{2}}dP=-dT$$

对其两边同时进行积分：

$$\begin{aligned}\int P^{-\dfrac{1}{2}}dP&=\int -dT\ \\2P^{\dfrac{1}{2}}+C_{1}&=-T+C_{2}\ \\2\sqrt{P}+T&=C \end{aligned}$$

这就得到了我们想要的人口P和时间T之间的方程，再根据时间T为0时，人口P为676，计算得到常数C为52，从而最终得到P和T之间的函数关系：

$$2\sqrt{P}+T=52$$

最后令P=0，得出T为52。