函数：如果x=0，则f\left( x\right) =0 ;如果 x 不等于 0 ，则f\left( x\right) =x^{2}\cdot \sin \dfrac{1}{x}
考虑下列问题：
(a) 当x很大时，y会发生什么变化？
(b) 证明f(x)在x=0处是连续的。
(c) 求出x不等于0时的f'(x)。
(d) 找到f'(0)。
(e) 证明f'(x)在x=0处不连续。
(a) 当 x 很大时，f(x) 的值会趋近于无穷大或负无穷大，因为x^{2}增长的速度比\sin\dfrac{1}{x}的振幅变化的速度更快，所以 f(x) 的值会受到 x^{2} 的影响。
(b) 要证明f(x)在 x=0处连续，需要证明当 x 趋近于0时，f(x)趋近于f(0)。当x 趋近于 0 时，x^{2}\cdot \sin \dfrac{1}{x}的值会趋近于 0 ，因为\left\vert x^{2}\cdot \sin \dfrac{1}{x}\right\vert \leq \left\vert x^{2}\right\vert。因此，当x 趋近于 0 时，f(x)趋近于f(0)=0。因此， f(x)在x=0处连续。
具体来说，可以使用\epsilon- \delta的方法来证明f(x)在x=0处连续：
对于任意给定的\epsilon>0，我们需要找到一个\delta>0，使得当0<|x-0|<\delta时，|f(x)-f(0)|<\epsilon。
当x 不等于0时，f(x)=x^{2}\cdot \sin \dfrac{1}{x}。因此，|f(x)|\leq |x^{2}|，对于所有的x都成立。又因为x^{2}\to 0，当x\to 0时，所以我们可以选择\delta=\sqrt{\epsilon}。这样，当0<|x-0|<\delta时，有：
因此，根据\epsilon- \delta 的定义，f(x)在x=0处连续。
(c) 当x不等于 0 时，f(x)可表示为f(x)=x^{2}\cdot \sin \dfrac{1}{x}。使用乘积法则和链式法则，可以求得f'(x)为：
(d) 要找到f'(0)，需要求出f'(x)在x=0处的极限。将f'(x)代入上式，得到：
由于\left\vert2x\sin\dfrac{1}{x}\right\vert\leq\left\vert2x\right\vert和\left\vert\cos\dfrac{1}{x}\right\vert\leq1，因此当 x 趋近于 0 时，2x\sin\dfrac{1}{x}和\cos\dfrac{1}{x}都趋近于 0 。因此，\lim_{x\to0}f'(x)=0，即 f'(0)=0。
hint：为何当x
趋近于 0 时，\cos\dfrac{1}{x}趋近于 0 ？
这个问题可以从数学上解释。当x
趋近于 0 时，\frac{1}{x}的绝对值会越来越大，所以\cos\frac{1}{x}在单位圆上的振荡频率也会越来越高。具体来说，对于任意的正整数n，我们有：
当n是奇数时：\cos n\pi =-1
当n是偶数时：\cos n\pi =1
因此，当\frac{1}{x}趋近于无穷大时，\cos\frac{1}{x}在单位圆上的振荡次数会越来越多，同时振荡幅度也会越来越大。这就是为什么\cos\frac{1}{x}在x 趋近于 0 时会发生快速的周期性振荡。
另一方面，\frac{1}{x}在x 趋近于 0 时的增长速度是非常快的，因为\frac{1}{x}在x 趋近于 0 时的导数是无穷大。因此，\frac{1}{x}的增长速度会比\cos\frac{1}{x}更快，从而可以将\cos\frac{1}{x}在趋近于 0 时近似看作0，并得到f'(0)=0的结果。
(e) 为了证明f'(x)在 x=0处不连续，需要证明\lim_{x\to0}f'(x)不存在。考虑两个不同的极限路径：x_{n}=\dfrac{1}{n\pi}和y_{n}=\dfrac{1}{n\pi+\frac{\pi}{2}}。当 n 趋近于无穷大时，x_{n}和y_{n}都趋近于 0 。然而，当n 趋近于无穷大时，f'(x_{n})的绝对值趋近于1，而f'(y_{n})的绝对值趋近于 0 。因此，\lim_{x\to0}f'(x)不存在，即f'(x)在x=0处不连续。