函数：当x=0 时，y=0；当x不等于 0 时，y=x\cdot \sin \dfrac{1}{x}
要证明这个函数在x=0时是连续的，我们需要证明\lim\limits_{x\rightarrow 0} f(x) = f(0)，其中f(x) 是该函数。
首先考虑当x\neq 0 时，f(x) = x\cdot\sin\dfrac{1}{x} 是连续的，因为 x 和 \sin\dfrac{1}{x} 都是连续的函数。因此，我们只需要证明\lim\limits_{x\rightarrow 0} f(x) = 0 。
对于任意 \epsilon > 0，我们需要找到一个\delta > 0，使得当0<|x|<\delta 时，|f(x)|<\epsilon 。由于|\sin x|\leq 1 ，我们有：
因此，我们可以选择\delta=\epsilon 。当0<|x-0|<\delta 时，我们有：
这说明在x=0时，该函数是连续的。
接下来，我们需要证明该函数在x=0处的导数不存在。我们可以使用函数的定义来计算导数：
由于\sin\dfrac{1}{x} 在x\rightarrow 0 时没有极限，因此f'(0) 不存在，即该函数在x=0处的导数不存在。
关于\sin\dfrac{1}{x} 在x\rightarrow 0 时为何没有极限的问题：
当 x 趋近于 0 时，\sin \frac{1}{x}的值会在 [-1,1] 之间震荡。因为\frac{1}{x} 可以取到非常大的值，使得 \sin \frac{1}{x} 的振幅也会变得非常大。具体来说，对于任何给定的正数 M ，可以找到两个数 x_1 和 x_2 ，满足0 < |x_1| < |x_2| < \frac{1}{\pi M} ，使得\sin \frac{1}{x_1} = -1 ，\sin \frac{1}{x_2} = 1 。因此，当 x 趋近于0时，\sin \frac{1}{x} 没有极限。
这个结论也可以通过反证法来证明。假设\lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x} 存在，设其极限为L 。则对于任意\epsilon > 0 ，存在\delta > 0 ，使得当 0 < |x| < \delta 时，|\sin \frac{1}{x} - L| < \epsilon 。选择 \epsilon = 1 ，则存在 0 < |x_1| < |x_2| < \delta ，使得 \sin \frac{1}{x_1} = -1 ，\sin \frac{1}{x_2} = 1 。因此，|-1 - L| < 1 和 |1 - L| < 1 ，推出 L \leq -2 和 L \geq 2 ，与|\sin \frac{1}{x}| \leq 1 矛盾。因此，假设不成立，\sin \frac{1}{x} 在 x \to 0 时没有极限。
关于第一个问题，即证明这个函数在x=0时是连续的，为何不能采用证明左右极限相等的方法来证明？
首先，我们计算左极限：
当x\to 0^-时，\dfrac{1}{x}\to -\infty ，因此，\sin\dfrac{1}{x} 在 x\to 0^- 时振荡无限，没有极限。因此，左极限不存在。
接下来，我们计算右极限：
当x\to 0^+时，\dfrac{1}{x}\to +\infty ，因此\sin\dfrac{1}{x} 在x\to 0^+ 时也振荡无限，没有极限。因此，右极限也不存在。
由于左右极限都不存在，所以该函数在x=0 处不连续。
因此，我们不能使用左右极限相等的方法来证明该函数在x=0 时是连续的。