笛卡尔叶形线的极值问题——Find the highest point on the loop of the folium of Descartes whose equation is x^{3}+y^{3}=3xy
首先，来看看这幅具有美感的函数图形。
显然，从图中也可以大致看出最高点在于1.5到2之间。。。。。
我们先将
x^{3}+y^{3}=3xy
写成
y^{3}=3xy-x^{3}
然后同时运用链式法则和幂法则对等式两边进行微分，也就是求导，可以得到：
3y^{2}\cdot \dfrac{dy}{dx}=3x\cdot \dfrac{dy}{dx}+3y-3x^{2}
移项可得：
\left( 3y^{2}-3x\right) \dfrac{dy}{dx}=3y-3x^{2}
从而得到：
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3y-3x^{2}}{3y^{2}-3x}=\dfrac{y-x^{2}}{y^{2}-x}
若要求函数的极值，则极值处该函数的导数应该为0，因此，令\dfrac{dy}{dx}为0，即：
y-x^{2}=0
即：
y=x^{2}
将上述等式代入
x^{3}+y^{3}=3xy
得到：
x^{3}+x^{6}=3x^{3}
令
z=x^{3}
则以上等式变为
z+z^{2}=3z
从而，可以解得 z=2，也就是x^{3}=2，也就是在x=\sqrt[3] {2}时，该函数达到最大值\sqrt[3] {4}