Calculus With Analytic Geometry · 16.5 · Problem 2
抛物线与 y 轴之间的面积
r = \dfrac{8}{1-\cos\theta}
答案\dfrac{128}{3}
题目
Find the area between the parabola r = 8/(1-\cos\theta) and the y-axis.
求抛物线 r = 8/(1-\cos\theta) 与 y 轴之间的面积。
动态示意图
θ = 90.0°r = 8.00已扫过的面积 0.00 / 42.67
射线从原点（抛物线的焦点）出发，由 θ = π/2 转到 3π/2，扫过的青色部分就是所求区域。可以随时暂停，或拖动滑块。
一、先看清这条曲线长什么样
把 r = \dfrac{8}{1-\cos\theta} 两边乘以 1-\cos\theta：
在极坐标里 r\cos\theta = x，所以 r = x + 8。两边平方，并用 r^2 = x^2 + y^2：
x^2 + y^2 = x^2 + 16x + 64 \quad\Longrightarrow\quad y^2 = 16(x+4)
这是一条开口向右的抛物线：
- 顶点在 (-4,\,0)；
- 和 y 轴（x=0）交于 y^2 = 64，也就是 (0,\,8) 和 (0,\,-8)；
- 原点正好是它的焦点。
所以「抛物线与 y 轴之间」的区域，是 y 轴左边、被抛物线包住的那一块，像一片向左鼓出的月牙。
二、用极坐标面积公式
本节公式 (2)：从原点出发的射线由 \theta=\alpha 转到 \theta=\beta，扫过的面积是
A = \int_\alpha^\beta \frac12 r^2\, d\theta
原点在这块区域的边上（y 轴上），所以射线从正 y 轴（\theta=\dfrac{\pi}{2}）出发，向左转到负 y 轴（\theta=\dfrac{3\pi}{2}），刚好扫过整块区域。上面的动图演示的就是这个过程，可以随时暂停或拖动。
\begin{aligned} A &= \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \frac12\cdot\frac{64}{(1-\cos\theta)^2}\,d\theta \\ &= 32\int_{\pi/2}^{3\pi/2} \frac{d\theta}{(1-\cos\theta)^2} \end{aligned}
三、化简被积函数
用半角公式 1-\cos\theta = 2\sin^2\dfrac{\theta}{2}：
\frac{1}{(1-\cos\theta)^2} = \frac{1}{4\sin^4\frac{\theta}{2}} = \frac14\csc^4\frac{\theta}{2}
所以
A = 8\int_{\pi/2}^{3\pi/2} \csc^4\frac{\theta}{2}\, d\theta
令 u = \dfrac{\theta}{2}，则 d\theta = 2\,du，积分限变成 \dfrac{\pi}{4} 到 \dfrac{3\pi}{4}：
A = 16\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \csc^4 u\, du
四、积出 csc⁴ u
把 \csc^4 u 拆成 \csc^2 u\cdot\csc^2 u，再用 \csc^2 u = 1+\cot^2 u：
\int \csc^4 u\,du = \int (1+\cot^2 u)\csc^2 u\,du
注意 \dfrac{d}{du}\cot u = -\csc^2 u。令 w = \cot u，则 dw = -\csc^2 u\,du：
\int (1+w^2)(-dw) = -w - \frac{w^3}{3} = -\cot u - \frac{\cot^3 u}{3}
五、代入上下限
\cot\dfrac{3\pi}{4} = -1，\cot\dfrac{\pi}{4} = 1：
\begin{aligned} &\Big[-\cot u - \tfrac13\cot^3 u\Big]_{\pi/4}^{3\pi/4} \\ &= \Big(1+\tfrac13\Big) - \Big(-1-\tfrac13\Big) = \frac83 \end{aligned}
A = 16\cdot\frac83 = \boxed{\dfrac{128}{3}}
六、用直角坐标验算
由 y^2 = 16(x+4)，抛物线上半支是 y = 4\sqrt{x+4}。这块区域关于 x 轴上下对称，x 从 -4 到 0：
\begin{aligned} A &= 2\int_{-4}^{0} 4\sqrt{x+4}\,dx = 8\cdot\frac23(x+4)^{3/2}\Big|_{-4}^{0} \\ &= 8\cdot\frac23\cdot 8 = \frac{128}{3} \end{aligned}
两种方法结果一致。
