这应该是6月1日保荐代表人考试后更新的第一篇文章，不管如何，今年接下去应该可以好好学点数学和好好看点自己真正想看的书了。前段时间，明显发现自己过于浮躁，这是务必急需改正的。今日记录一道积分题，看似简单，实则将积分可以使用的方法几乎都用了一遍，并且环环相扣，数学的解题过程的确让人着迷并且给人以平静。

加下去进入今天的正题，求解$\int {\displaystyle \frac{x^4}{x^3-1}}dx$

首先，对分子分母进行简化：$$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{x^4}{x^3-1}}={\displaystyle \frac{x^4-x+x}{x^3-1}}=x+{\displaystyle \frac{x}{x^3-1}}\end{array}$$

前面的$x$部分很容易完成积分，$$\int xdx={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+C_1$$所以现在只需要考虑$\int {\displaystyle \frac{x}{x^3-1}}dx$,显然必须对分母进行因式分解了，否则无法进行下一步：$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{x^3-1}{x-1}}& =x^2+x+1\\ x^3-1& =(x^2+x+1)(x-1)\end{array}$$

得到：$$\begin{array}{r}\int {\displaystyle \frac{x}{x^3-1}}dx=\int {\displaystyle \frac{x}{(x-1)(x^2+x+1)}}dx\end{array}$$

由于：${\displaystyle \frac{x}{(x-1)(x^2+x+1)}}={\displaystyle \frac{A}{x-1}}+{\displaystyle \frac{Bx+C}{x^2+x+1}}$

可以通过下面的简单方法计算得到A，B，C的数值：$$\begin{array}{rl}A{x}^2+Ax+A+B{x}^2-Bx+Cx-C& =x\\ A+B& =0\\ A-B+C& =1\\ A-C& =0\end{array}$$

得到：$$\begin{array}{rl}A& ={\displaystyle \frac{1}{3}}\\ B& =-{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ C& ={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$$

于是待积分部分又可以分为：$$\begin{array}{rl}\int {\displaystyle \frac{x}{x^3-1}}dx& =\int ({\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}}{x-1}}+{\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{1}{3}}}{x^2+x+1}})dx\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}\int {\displaystyle \frac{dx}{x-1}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\int {\displaystyle \frac{x-1}{x^2+x+1}}dx\end{array}$$

前面的$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{1}{3}}\int {\displaystyle \frac{1}{x-1}}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}\ln (x-1)+C_2\end{array}$很简单可以得到，所以麻烦又留给后面这部分，即：

$${\displaystyle \frac{1}{3}}\int {\displaystyle \frac{x-1}{x^2+x+1}}dx$$

由于：$$d(x^2+x+1)=(2x+1)dx$$

可以想到将分子进行变形：

$$x-1=x+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}$$

方面起见，我们使用换元法，令：$$\begin{array}{rl}{x}^2+x+1& =u\\ du& =(2x+1)dx\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}du& =(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})dx\end{array}$$

得到：$$\begin{array}{rl}\int {\displaystyle \frac{x-1}{x^2+x+1}}dx& =\int {\displaystyle \frac{x+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}}{x^2+x+1}}dx\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\int {\displaystyle \frac{du}{u}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}\int {\displaystyle \frac{1}{x^2+x+1}}dx\end{array}$$

于是又将问题分为前后两部分，前面的积分很容易得到：

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{2}}\int {\displaystyle \frac{du}{u}}& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln u\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (x^2+x+1)\end{array}$$

finally,来到最后一步了，即求以下积分：$$\int {\displaystyle \frac{dx}{x^2+x+1}}dx$$

由于分母不可继续因式分解，所以思路自然是凑平方，然后使用三角函数替换法：

$$\begin{array}{rl}{x}^2+x+1& ={(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}\\ \int {\displaystyle \frac{dx}{x^2+x+1}}& =\int {\displaystyle \frac{dx}{{(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{4}{3}}\int {\displaystyle \frac{dx}{{\displaystyle \frac{4}{3}}{(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+1}}\end{array}$$

同样，方便起见，令$$x+{\displaystyle \frac{1}{2}}=t$$

Get:$$\int {\displaystyle \frac{dt}{{\displaystyle \frac{4}{3}}{t}^2+1}}$$

let and get:$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}t& =\tan \theta \\ dt& ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sec }^2\theta d\theta \\ 1+{\displaystyle \frac{4}{3}}{t}^2& =1+{\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta \end{array}$$

get:$$\begin{array}{rl}\int {\displaystyle \frac{dt}{1+{\displaystyle \frac{4}{3}}{t}^2}}& =\int {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sec }^2\theta d\theta }{{\sec }^2\theta }}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\theta \end{array}$$

因为：$$\theta ={\tan }^{-1}{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})$$

最后将所有待积分部分进行汇总得到：

$$\begin{array}{r}\int {\displaystyle \frac{x^4}{x^3-1}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}\ln (x-1)-{\displaystyle \frac{1}{6}}\ln (x^2+x+1)+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}{\tan }^{-1}{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})\end{array}$$

end