关于这个问题，先由一道较为简单的积分问题开始说起：
The region under the curve $y=\sec x$ between $x = 0$ and $x=\pi /4$ is revolved about the x-axis. Find the volume of the solid of revolution generated in this way.
这题其实非常简单，根据积分的定义可以得出这个旋转物体的体积为：$$V=\int ^{\dfrac{\pi }{4}}_{0}\pi \sec ^{2}xdx$$
解得这个积分为$\pi$
下面才是本文想记录的一个问题：
Solve Problem for the curve $y=\sec ^{2}x$.
函数草图在此就不画了，因为非常简单，为什么简单，因为限制的区间很短。还是一样，根据积分的定义，可以得到旋转物体的体积表达式：$$V=\int ^{\dfrac{\pi }{4}}_{0}\pi \sec ^{4}xdx$$
那么接下来就是求这个定积分
$$\begin{aligned}V=\int ^{\dfrac{\pi }{4}}_{0}\pi \sec ^{4}xdx\
=\pi \int ^{\dfrac{\pi }{4}}_{0}\pi \sec ^{4}xdx\end{aligned}$$
进行到此，似乎后面这个定积分的计算无从下手，由于$\dfrac{d}{dx}\tan x=\sec ^{2}x$，由此可以
令$u=\tan x$
get $du=\sec ^{2}xdx$
另外还有$$\begin{aligned}1+\tan ^{2}x&=1+\dfrac{\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}\ \\
&=\dfrac{1}{\cos ^{2}x}\ \\
&=\sec ^{2}x\end{aligned}$$
因此，一开始的体积表达式则可以用以下含有$u$的，并且可以直接计算定积分的方式来表示：
$$\begin{aligned}\begin{aligned}V&=\pi \int ^{\dfrac{\pi }{4}}_{0}\sec ^{4}xdx\ \\ &=\pi \int ^{\dfrac{\pi }{4}}_{0}\sec ^{2}x\cdot \sec ^{2}xdx\ \\
&=\pi \int ^{\dfrac{\pi }{4}}_{0}\left( 1+u^{2}\right) \cdot du\ \\ &=\pi \left( u+\dfrac{1}{3}u^{3}\right) ] _{0}^{\dfrac{\pi }{4}}\ \\&=\dfrac{4}{3}\pi \end{aligned}\ \\
\end{aligned}$$
这题再次证明三角函数的所有公式（导数、积分、反函数、求和、倍角等）之间具有必然性的联系，结合微积分中灵活的换元法，可以计算一些并非那么容易计算的积分。（当然，其实这题有直接的公式可以套用，但是我想直接套用公式将会失去很多有意义的思考🤔）