今天说说数学归纳法，比如证明上面这个恒等式，我们就可以采用数学归纳法，原理就是如果需要证明对于所有的n，上述等式均成立，我们只需要进行三个步骤，即可以从逻辑上完整证明。

1、证明n=1时，等式成立；

2、假设n=k时，等式成立；

3、证明n=k+1时，等式也成立。

只要完成以上三步，从逻辑上就可以证明对于所有的n等式都成立。（因为n=1时成立，则根据第二、第三步，那么n=2时也会成立；因为n=2时成立，再根据第二、第三步，那么n=3时也会成立；因为n=3时成立......一直重复即可）接下去就按照这三个步骤进行

由于$$f\left( x\right) =\dfrac{1}{x\left( 1-x\right) }=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1-x}$$

从而有

$$\begin{aligned}f'\left( x\right) &=\dfrac{-1}{x^{2}}+\dfrac{1}{\left( 1-x\right) ^{2}}\
\\&=1\cdot \left[ \dfrac{\left( -1\right) ^{1}}{x^{1+1}}+\dfrac{1}{\left( 1-x\right) ^{1+1}}\right] \end{aligned}$$

接着进行第二步，假设n=k时，等式成立，即$$\dfrac{d^{k}}{dx^{k}}\left[ \dfrac{1}{x\left( 1-x\right) }\right] =k!\left[ \dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{x^{k+1}}+\dfrac{1}{\left( 1-x\right) ^{k+1}}\right]$$

接着进行第三步，即证明n=k+1时，等式同时也成立。根据求导的链式法则，可以得到：

$$\begin{aligned}\dfrac{d^{k+1}}{dx^{k+1}}\left( \dfrac{1}{x\left( 1-x\right) }\right) &=k!\left[ \dfrac{-\left( k+1\right) \cdot x^{k}\cdot \left( -1\right) ^{k}}{x^{2\left( k+1\right) }}+\dfrac{\left( k+1\right) \left( 1-x\right) ^{k}}{\left( 1-x\right) ^{2\left( k+1\right) }}\right] \\
&=\left( k+1\right) !\left[ \dfrac{\left( -1\right) ^{k+1}\cdot x^{k}}{x^{k+2}\cdot x^{k}}+\dfrac{\left( 1-x\right) ^{k}}{\left( 1-x\right) ^{k+2}\cdot \left( 1-x\right) ^{k}}\right] \\
&=\left( k+1\right) !\left[ \dfrac{\left( -1\right) ^{k+1}}{x^{k+2}}+\dfrac{1}{\left( 1-x\right) ^{k+2}}\right] \end{aligned}$$

证毕