二项式定理（英语：binomial theorem），又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理（以上定义来自于百度百科）

通常来说，其数学表达式可以写为：$$\left( a+b\right) ^{n}=a^{n}+na^{n-1}b+\dfrac{n\left( n-1\right) }{2}\times a^{n-2}b^{2}+\ldots +\dfrac{n\left( n-1\right) \ldots \left( n-k+1\right) }{1\times 2\times 3\times \ldots k}+\cdot \cdot \cdot +b^{n}$$
下面通过两种方式进行推导，第一种方式只是用到最简单的多项式乘法规则以及少许排列组合的知识；第二种则用到了隐函数以及隐微分的知识，不过都很简单，相信不用动笔都可以看懂。（强烈建议自己动笔算一遍，因为本站中所有的内容都可能是错的，除非通过你自己的检验）

方法一：
先来看一个最为简单的例子，数学就是通过简单的不断计算，直到发现一个适用于复杂情形的规律。先将$n$定为$2$，则得到一个初中生或是小学生就会计算的形式$\left( a+b\right) ^{2}$，显然$\left( a+b\right) ^{2}=\left( a+b\right) \left( a+b\right) $，我们希望通过这个最简单的例子来理解多项式乘法的基本原理。将每个$\left( a+b\right)$都看成一个箱子，而每个箱子里都有一个$a$和一个$b$，下面进行排列组合，从两个箱子里拿出两个$a$的方式只有一种，从两个箱子里拿出一个$a$和一个$b$的方式有两种，从两个箱子里拿出两个$b$的方式也只有一种，而以上就是所有的组合方式，由此得到结果为$a^{2}+2ab+b^{2}$（相信这个公式大家都会）。

下面将$n$定为$3$，则问题就变成$\left( a+b\right) ^{3}=\left( a+b\right) \left( a+b\right) \left( a+b\right)$，还是通过上面排列组合的方式进行展开，思考从三个箱子中，取出$3$个$a$有几种方式，取出$2$个$a$和$1$个$b$有几种方式...
相信大家可以解决上面这个简单的排列组合问题，由此我们可以得到$a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$（这个公式可能就开始陌生了，加油！）

下面直接把n定为5试试，则问题变为$\left( a+b\right) ^{5}=\left( a+b\right) \left( a+b\right) \left( a+b\right) \left( a+b\right) \left( a+b\right) $，依然还是排列组合问题，从$5$个箱子里取$5$个$a$的方式只有一种，取$4$个$a$和$1$个$b$的方式有$5$种，取$3$个$a$和$2$个$b$的方式有？种（这个小问题希望大家自行解决，这里不讲解排列组合的内容，建议画图）
答案应该是$10$种，可以表示为$\dfrac{5\times 4}{1\times 2}$

以上几个小问题如果大家都能想明白的话，那么二项式定理就呼之欲出了，只要思考从$n$个箱子里，每个箱子里有一个$a$和一个$b$，分别从每个箱子里取出一个对象，总共会有多少种组合方式，每种组合方式中有几个$a$？几个$b$？

方法二：
方法二采用隐函数和隐微分的方式进行推导，这个方法思考内容较少，计算内容较多，当然前提是掌握高阶导数的求导方法。
为了更体验函数的特征，我们将$\left( a+b\right) ^{n}$换种形式，本质是一样的，改为$\left( 1+x\right) ^{n}$，显然$$\left( 1+x\right) ^{n}=\left( 1+x\right) \left( 1+x\right) \left( 1+x\right) \ldots \left( 1+x\right) $$根据方法一的一些原理，可以继续得到：$$\left( 1+x\right) ^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n}$$那么现在的问题就变为如何来求这些系数。上述这个等式应当对于任何$x$都成立，那如果我们想知道$a_{0}$的数值，则需要去掉其他所有项，假设$x$为$0$，则$a_{0}$显然为$1$。
接下来，我们只需要重复一个步骤即可，对$$\left( 1+x\right) ^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n}$$的左右两边同时进行微分，得到$$n\left( 1+x\right) ^{n-1}=a_{1}+2a_{2}x+\ldots +na_{n}x^{n-1}$$继续假设$x$为$0$，则$a_{1}$显然为$n$。
再接下来，对$$n\left( 1+x\right) ^{n-1}=a_{1}+2a_{2}x+\ldots +na_{n}x^{n-1}$$继续同时微分，得到$$n\left( n-1\right) \left( 1+x\right) ^{n-2}=2a_{2}+3a_{3}x+\ldots +n\left( n-1\right) a_{n}^{n-2}$$继续假设$x$为$0$，则$a_{2}=\dfrac{n\left( n-1\right) }{2}$。
不断进行这个步骤，显然可以得到所有系数的数值或者表达式。最终，也可以得到二项式定理：$$\left( 1+x\right) ^{n}=1+n\cdot x+\dfrac{n\left( n-1\right) }{2}x^{2}+\ldots +\dfrac{n\left( n-1\right) \ldots \left( n-k+1\right) }{1\cdot 2\ldots k}+\ldots +x^{n}$$